6種高中數學解題思想
來源: | 作者: | 時間:2018-05-23 | 瀏覽  | 設置字體:

1 函數與方程思想

函數與方程的思想是中學數學最基本的思想。所謂函數的思想是指用運動變化的觀點去分析和研究數學中的數量關系,建立函數關系或構造函數,再運用函數的圖像與性質去分析、解決相關的問題。

而所謂方程的思想是分析數學中的等量關系,去構建方程或方程組,通過求解或利用方程的性質去分析解決問題。

2 數形結合思想

數與形在一定的條件下可以轉化。如某些代數問題、三角問題往往有幾何背景,可以借助幾何特征去解決相關的代數三角問題;而某些幾何問題也往往可以通過數量的結構特征用代數的方法去解決。因此數形結合的思想對問題的解決有舉足輕重的作用。

解題類型:

①“由形化數”:就是借助所給的圖形,仔細觀察研究,提示出圖形中蘊含的數量關系,反映幾何圖形內在的屬性。

②“由數化形” :就是根據題設條件正確繪制相應的圖形,使圖形能充分反映出它們相應的數量關系,提示出數與式的本質特征。

③“數形轉換” :就是根據“數”與“形”既對立,又統一的特征,觀察圖形的形狀,分析數與式的結構,引起聯想,適時將它們相互轉換,化抽象為直觀并提示隱含的數量關系。

3 分類討論思想

分類討論的思想之所以重要,原因一是因為它的邏輯性較強,原因二是因為它的知識點的涵蓋比較廣,原因三是因為它可培養學生的分析和解決問題的能力。原因四是實際問題中常常需要分類討論各種可能性。

解決分類討論問題的關鍵是化整為零,在局部討論降低難度。

常見的類型:

類型1:由數學概念引起的的討論,如實數、有理數、絕對值、點(直線、圓)與圓的位置關系等概念的分類討論;

類型2:由數學運算引起的討論,如不等式兩邊同乘一個正數還是負數的問題;

類型3 :由性質、定理、公式的限制條件引起的討論,如一元二次方程求根公式的應用引起的討論;

類型4:由圖形位置的不確定性引起的討論,如直角、銳角、鈍角三角形中的相關問題引起的討論。

類型5:由某些字母系數對方程的影響造成的分類討論,如二次函數中字母系數對圖象的影響,二次項系數對圖象開口方向的影響,一次項系數對頂點坐標的影響,常數項對截距的影響等。

分類討論思想是對數學對象進行分類尋求解答的一種思想方法,其作用在于克服思維的片面性,全面考慮問題。分類的原則:分類不重不漏。

4 轉化與化歸思想

轉化與化歸是中學數學最基本的數學思想之一,是一切數學思想方法的核心。數形結合的思想體現了數與形的轉化;函數與方程的思想體現了函數、方程、不等式之間的相互轉化;分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化,所以以上三種思想也是轉化與化歸思想的具體呈現。

轉化包括等價轉化和非等價轉化,等價轉化要求在轉化的過程中前因和后果是充分的也是必要的;不等價轉化就只有一種情況,因此結論要注意檢驗、調整和補充。

轉化的原則是將不熟悉和難解的問題轉為熟知的、易解的和已經解決的問題,將抽象的問題轉為具體的和直觀的問題;將復雜的轉為簡單的問題;將一般的轉為特殊的問題;將實際的問題轉為數學的問題等等使問題易于解決。

常見的轉化方法:

①直接轉化法:把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題;

②換元法:運用“換元”把式子轉化為有理式或使整式降冪等,把較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題;

③數形結合法:研究原問題中數量關系(解析式)與空間形式(圖形)關系,通過互相變換獲得轉化途徑;

④等價轉化法:把原問題轉化為一個易于解決的等價命題,達到化歸的目的;

⑤特殊化方法:把原問題的形式向特殊化形式轉化,并證明特殊化后的問題,使結論適合原問題;

⑥構造法:“構造”一個合適的數學模型,把問題變為易于解決的問題;

⑦坐標法:以坐標系為工具,用計算方法解決幾何問題也是轉化方法的一個重要途徑。

5 特殊與一般思想

用這種思想解選擇題有時特別有效,這是因為一個命題在普遍意義上成立時,在其特殊情況下也必然成立,根據這一點,同學們可以直接確定選擇題中的正確選項。

不僅如此,用這種思想方法去探求主觀題的求解策略,也同樣有用。

6 極限思想

極限思想解決問題的一般步驟為:

一、對于所求的未知量,先設法構思一個與它有關的變量;

二、確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量;

三、構造函數(數列)并利用極限計算法則得出結果或利用圖形的極限位置直接計算結果。

掌握數學解題思想是解答數學題時不可缺少的一步,建議同學們在做題型訓練之前先了解數學解題思想,掌握解題技巧,并將做過的題目加以劃分,以便在考試中游刃有余。


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